从一道含双参数问题的解法说起
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含参数问题的解法是高中数学的一大难点,不管涉及到哪个模块知识,学生对含参数的题型总是无从下手,特别是含多个参数的题型更是难上加难;在每次的考试中得分总是很低。当然如果平时解题中对含参数的题型加以梳理,总结它的解题规律,同时对这种题型加以拓展与延伸,却能起到事半功倍的效果。下面笔者从一道带参数的题目说题说起,来探索这类题型的解法。
题目: 已知向量=(x,),=(1,0),且(+)(—)=0.
(1)求满足上述条件的点Q(x,y)的轨迹C的方程
(2)设曲线C与直线:y=kx+m相交于不同的两点M、N,点A(0,-1),当|AM|=|AN|时,求实数m的取值范围.
1.说题目出处
本题出自2018年二轮复习用书的一道例题。
2.说题意
条件:①已知向量=(x,),=(1,0),②(+)(—)=0.;
结论:①轨迹C的方程 ②曲线C与直线:y=kx+m相交于不同的两点M、N,点A(0,-1),当|AM|=|AN|时,求实数m的取值范围.
涉及的知识点:①椭圆的标准方程;②两点间的距离公式;③直线方程。
3.说解法
在对第(1)小题做出解答,并总结了规律后,重点对第(2)小题的解法进行了详细分析,具体如下:
对于(1)问,直接代入即可
(1)解: ∵(+)(—)=0..
∴2—32=0
∴ x2+3y2=3
即+y2=1
对于 (2)问,通过分析探索,有两种比较代表性的解题思路。
思路一:如果把两参数也看成变量,本题就是四变量→二变量→一变量的过程
具体就是:曲线C与直线相交于不同的两点联立方程组有两组解一元二次方程判别式Δ>0 得①式。由|AM|=|AN|得②式。再把①②两式联立,求得m得范围。
(2)解法一:联立方程组
,
消去y得:(3k2+1)x2+6mkx+3(m2—1)=0
曲线C与直线相交于不同的两点
所以判别式Δ=36k2—12m2+12>0,
得m2<3k2+1 ①式
(i)当k=0时,|AM|=|AN|在—1
(ii)当k0时,设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点P(x0,y0).
则x0==—,y0=kx0+m=
AP的斜率KAP==
|AM|=|AN|
∴APMN
∴=, 得2m=3k2+1 ②
由 ① ②得
综上所述,当k=0时,m 的取值范围是(—1,1).当k0时,m 的取值范围是(,2)
对于解法一,把双参数的内在关系找出来,减少变量,得m,k两个关系式。不但可以求m的范围,也可求k得范围。
思路二:由|AM|=|AN|,可以认为椭圆C上总存在两点到A(0,—1)的距离相等。因此可以用点到点的距离求解。
(2)解法二
(i)当k=0时,|AM|=|AN|在—1
(ii)当k0时,设椭圆C上任意一点(x,y)到A(0,—1)的距离为d。
则d2=x2+(y—1)2
把+y2=1代入d2=x2+(y—1)2消去x得
d2=—2y2+2y+4 (—1《y《1)
要使|AM|=|AN|,即M(x1,y1),N(x2,y2)到A(0,—1)的距离相等
则yi+y2=1,即MN的中点纵坐标y0=.
因为k0,所以x(—,0)(0,)。
AP的斜率KAP===—
得k=—
∴直线的方程可写为y—=—(x—x0)
即y=—x++
又的方程为y=kx+m
∴m=+
x(—,0)(0,)
∴m 的取值范围是(,2)
综上所述,当k=0时,m 的取值范围是(—1,1).当k0时,m 的取值范围是(,2)
说拓展
:为了让学生更进一步掌握双参数问题的解法,做如下的变式和推广:
( 其他不变)
(1).若A(0,—) (此时A在椭圆外)
(2)若A(0,—) (此时A在椭圆内)
(3)求椭圆C上的点到A的最大距离。
(4).是否存在以A为圆心的圆与椭圆C相切。
这样把整个问题拓展开,对原有的的题目进行变式拓展和一题多变,既可以加深对本题的理解,又可以拓宽学生的知识视野和解题思路,这样可以提高学生的解题能力。
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